Aula nº. 1 - 22/09/2014
Introdução ao estudo das equações diferenciais. Definições básicas. Equações ordinárias e equações de derivadas parciais. Soluções gerais e particulares de uma equação. Equações de 1ª ordem : equações de variáveis separadas._____________________________________________________________________________________________________
Aula nº. 2 - 25/09/2014Soluções gerais e soluções particulares. Exemplos.Soluções de equações dadas de modo implícito. Teorema das funções implícitas ( caso particular, funções de IRxIR --> IR)________________________________________________________________________________________________________
Aula nº. 3 - 29/09/2014Derivação e integral: algumas observações sobre o Teorema Fundamental do Cálculo e o Teorema de Leibniz.Funções homogéneas. Exemplos Equações homogéneas e equações redutíveis a homogéneas._________________________________________________________________________________________________________
Aula nº. 4 - 02/10/2014Equações redutíveis a equações de variáveis separadas_________________________________________________________________________________________________________Aula nº. 5 - 06/10/2014
Factores integrantes.Trajectórias ortogonais. Exemplos._______________________________________________________________________________________________________- resolução 1.1 - 1.9 ; 1.10 - 1.20 ; 1.21 - 1.29 ; 1.32 - 1.39 ; 1.43 - 1.51 ; 1.52 - 1.59
- 1.62 - 1.74 : 1.75 - 1.88 ; 1.88 - 1.99
Aula nº. 6 - 09/10/2014Equações diferenciais de ordem superior. Alguns casos "fáceis" de resolver . Equações diferenciais Lineares. Notações básicas. A matriz de Wronski. O Wronskiano de uma família de funcões. Funções linearmente independentes. Critério de independência linear.Exemplos de funções linearmente independentes. [ x ]_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________Aula nº. 7 - 13/10/2014
Critério de independência linear.Exemplos de funções linearmente independentes.( continuação) Operadores diferenciais lineares. Equações diferenciais lineares homogéneas Equações não homogéneas. Solução geral.___________________________________________________________________________________________________________Aula nº. 8 - 16/10/2014
Teorema fundamental de existência e unicidade de soluções de uma equação diferencial linear. Espaço vectorial das soluções da equação homogénea. Soluções fundamentais( base do espaço) Exemplos.____________________________________________________________________________________________________________Aula nº. 9 - 20/10/2014 Não houve aula __________________________________________________________________________________________________________________
Aula nº. 10 - 23/10/2014O Wronskiano de um sistema fundamental de soluções. Composição de operadores lineares.__________________________________________________________________________________________________________________Aula nº. 11 - 27/10/2014Diferenciabilidade da solução da equação homogénea. Referência ao Anel dos operadores lineares de coeficientes constantes. Algumas propriedades sobre o anel dos polinómios em IR. Relação com o anel dos operadores diferenciais. Polinómio característico de um operador linear de coeficientes constantes (Decomposição do operador em factores irredutíveis) Soluções de L(y) = 0 . Base de Ker L. Estudo da equação (D – aI)^n(y) = 0 Resolução de exercícios.
_____________________________________________________________________________________________________________Aula nº. 12 - 30/10/2014Estudo da equação {(D – aI)^2 +b^2I]^m (y) ) = 0. Raízes racionais de polinómios de coeficientes inteiros. Resolução de exercícios._________________________________________________________________________________________________________Aula nº. 13 - 03/11/2014
Determinação das soluções particulares. Método do polinómio aniquilador /variação das constantes. Resolução de exercícios_____________________________________________________________________________________________________________Aula nº. 14 - 06/11/2014
Determinação das soluções particulares: Método da variação dos parâmetros ou método de Wronski Resolução de exercícios._____________________________________________________________________________________________________________Aula nº. 15 - 10/11/2014
Equações lineares de coeficientes não constantes. Resolução de equações diferenciais lineares por mudanças de parâmetro.Equações de Euler. Resolução de exercícios.__________________________________________________________________________________________________________________Aula nº. 16 - 13/11/2014
Pontos ordinários e pontos singulares de equações diferenciais lineares. Resolução de equações diferenciais por séries de Potências. na vizinhança de pontos ordinários. Exemplos.___________________________________________________________________________________________________________________Aula nº. 17 - 17/11/2014Resolução de exercícios sobre equações diferenciais usando séries de potências na vizinhança de pontos ordinários.Equação de Bessel .Referência ao método de Frobenius ( solução em série na vizinhança de pontos singulares regulares).Transformadas de Laplace. Definição, propriedades. Transformadas de Laplace de algumas funções.____________________________________________________________________________________________________________- resolução 2.1 - 2.30 ;
______________________________________________________________________________________________________________Aula nº. 18 - 20/11/2014
Mais propriedades da Transformada Transformada da derivada. Aplicação à resolução de equações diferenciaislineares de coeficientes constantes. Exemplos._____________________________________________________________________________________________________________Aula nº. 19 - 24/11/2014Transformada de Laplace de funções periódicas. Mais propriedades das transformadas de Laplace. Transformada do Integral Função de Heaviside. Transformadas de Laplace da funçâo de Heaviside. 2º Teorema de translação. Resolução de exercícios______________________________________________________________________________________________________________Aula nº. 20 - 27/11/2014Resolução de exercícios com a transformada de Laplace da Função de Heaviside. "Função Delta Dirac"_______________________________________________________________________________________________________________Aula nº. 21 - 01/12/2014Justificação Física do método de Delta de Dirac. Exemplos. Integral de Convolução.Propriedades._________________________________________________________________________________________________________________Aula nº. 22 - 04/12/2014Integral de Convolução.Propriedades. Teorema de Convolução. Aplicações. Integral de linha de campos escalares.___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________Aula nº. 23 - 11/12/2014[ x ] Integrais de linha de campos escalares.( continuação) Exercícios e aplicações. Integrais de linha de campos vectoriais. [ x ] Aplicações e exemplos. Propriedades dos integrais de linha. Integrais de linha independentes do caminho. Campos de gradientes. Abertos conexos por arcos.__________________________________________________________________________________________________________________Aula nº. 24 - 15/12/2014
Teste para independência de caminho. Conjuntos simplesmente conexos , convexos e estrelados. Teorema de Green._________________________________________________________________________________________________________________
Aula nº. 25 - 18/12/2014
Teorema de Green em domínios multiconexos. Resolução de exercícios.___________________________________________________________________________________________________________________
Aula nº. 2 - 25/09/2014
Aula nº. 3 - 29/09/2014
Aula nº. 4 - 02/10/2014
Factores integrantes.
- resolução 1.1 - 1.9 ; 1.10 - 1.20 ; 1.21 - 1.29 ; 1.32 - 1.39 ; 1.43 - 1.51 ; 1.52 - 1.59
- 1.62 - 1.74 : 1.75 - 1.88 ; 1.88 - 1.99
Critério de independência linear.Exemplos de funções linearmente independentes.( continuação) Operadores diferenciais lineares. Equações diferenciais lineares homogéneas Equações não homogéneas. Solução geral.
Teorema fundamental de existência e unicidade de soluções de uma equação diferencial linear. Espaço vectorial das soluções da equação homogénea. Soluções fundamentais( base do espaço) Exemplos.
Aula nº. 10 - 23/10/2014
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Determinação das soluções particulares. Método do polinómio aniquilador /variação das constantes. Resolução de exercícios
Determinação das soluções particulares: Método da variação dos parâmetros ou método de Wronski Resolução de exercícios.
Equações lineares de coeficientes não constantes. Resolução de equações diferenciais lineares por mudanças de parâmetro.
Pontos ordinários e pontos singulares de equações diferenciais lineares. Resolução de equações diferenciais por séries de Potências. na vizinhança de pontos ordinários. Exemplos.
- resolução 2.1 - 2.30 ;
Mais propriedades da Transformada Transformada da derivada. Aplicação à resolução de equações diferenciaislineares de coeficientes constantes. Exemplos.
Teste para independência de caminho. Conjuntos simplesmente conexos , convexos e estrelados. Teorema de Green.
Aula nº. 25 - 18/12/2014
Teorema de Green em domínios multiconexos. Resolução de exercícios.
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